Cuando se habla del chasquido de Thanos nos viene a la mente uno de los momentos más traumáticos y alucinantes del mundo de superhéroes. Ver desvanecerse a muchos de nuestros personajes favoritos marcó un antes y un después en el Universo de Marvel, e incluso del cine. No solo fue dinamitador para los fans, sino para poner sobre la mesa una cuestión muy interesante sobre matemáticas y una aniquilación infinita.
Cuando Thanos, uno de los seres más poderosos del universo cinematográfico de Marvel, chasquea el guantelete con todas las gemas del infinito en su haber, la mitad de los seres del universo desaparecería, pero si el universo tuviera infinitos seres y Thanos eliminara a la mitad, ¿no acabarían muriendo todos? Al fin y al cabo, infinito dividido entre dos sigue siendo infinito. Esta forma de razonar parece lógica, pero en realidad mezcla dos cualidades un poco antiintuitivas, reglas del mundo finito con un objeto que no se comporta como los números normales: el infinito.
Hago *chas* y no aparezco a tu lado
Imaginemos que hay infinitas personas en el universo y Thanos chasquea el guantelete. Según lo que sabemos y hemos aprendido en el colegio, la mitad de ese infinito sobrevive y la otra muere, pero claro, según lo que hemos aprendido, infinito dividido entre dos… Volvería a dar infinito. Esto es una paradoja seria. ¿Nadie moriría? ¿Todos vivirían?¿Falla la matrix?
Para poder hablar de ellas con precisión, vamos a hacer algo que en matemáticas es muy común: numerar a todas las personas. Vamos a ir una por una poniéndole una pegatina con un número. Uno, dos, tres… Hasta llegar a infinito. Tardaremos un poco, (mentira, tardaremos mucho) pero todas tendrán uno. Eso nos permite razonar sin ambigüedades. Así, tenemos la persona 1, la persona 2, la persona 3, la persona 4, y así sucesivamente sin final. El conjunto de todas las personas puede representarse como el conjunto de los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5…
Este conjunto es infinito, pero no cualquier tipo de infinito: es un infinito numerable, lo que significa que sus elementos pueden listarse uno detrás de otro, aunque la lista nunca termine. Este detalle será importante para que el chasquido pueda hacerse como a Thanos le gusta.
Ahora definimos el chasquido de Thanos de forma muy clara y nada ambigua: Thanos elimina a todas las personas cuyo número es par y deja con vida a todas las personas cuyo número es impar. Es decir, mueren las personas 2, 4, 6, 8, 10… y sobreviven las personas 1, 3, 5, 7, 9…
Desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, lo que acaba de ocurrir es una partición del conjunto original en dos subconjuntos. Por un lado, el conjunto de los pares (los eliminados) y, por otro, el conjunto de los impares (los supervivientes). Estos dos conjuntos no se solapan y, juntos, forman exactamente el conjunto original de todas las personas.
Aquí aparece la primera sorpresa importante: tanto el conjunto de personas eliminadas como el conjunto de personas supervivientes son infinitos. No hay un último número par, pero tampoco hay un último número impar. Si uno empieza a contar pares o impares, puede seguir haciéndolo para siempre.
Hasta aquí, todo parece razonable. El problema surge cuando entra en juego la intuición: si han muerto infinitas personas, ¿cómo es posible que no hayan muerto todas? La clave está en entender que «ser infinito» no significa «serlo todo». Aunque no lo parezca puedo escuchar como se te rompe un poquito la cabeza desde mi oficina.
Las mates matan
En los conjuntos finitos, estamos acostumbrados a que una parte siempre sea más pequeña que el todo. Si tienes diez personas y tomas cinco, te quedan cinco; si tomas nueve, te queda una. Nunca ocurre que una parte tenga el mismo «tamaño» que el conjunto completo. Pero los conjuntos infinitos rompen esta regla y tu intuición se va por el desagüe. Un conjunto puede ser infinito y, aun así, no incluir a todos los elementos posibles. El hecho de que algo sea infinito no lo convierte automáticamente en total. Por eso, decir que «mueren infinitas personas» no equivale a decir que «mueren todas las personas».
Para que murieran todas, tendría que cumplirse que cada persona del conjunto original pertenece al conjunto de los eliminados. Pero eso no ocurre. Las personas impares no están en el conjunto de los pares, y hay infinitas personas impares. Basta con que exista una sola persona que no muera para que no hayan muerto todos; en este caso, no solo existe una, sino infinitas.
Visto así, el chasquido de Thanos no elimina «todo» el infinito, sino que lo divide en dos infinitos distintos. Ambos siguen siendo infinitos, pero no son el mismo conjunto. El infinito no se agota al dividirlo, ni se «consume» al quitarle una parte infinita. El error intuitivo consiste en tratar al infinito como si fuera un número muy grande, cuando no lo es. La teoría de conjuntos muestra que es perfectamente coherente que Thanos elimine a la mitad de las personas en un universo infinito, que muera un número infinito de individuos y que, aun así, sobreviva otro número infinito. Thanos tiene su chasquido deseado y el universo ha perdido a la mitad de sus seres, aunque siga habiendo infinitos vivos.
Miremos el lado bueno, si han fallecido infinitos humanos, también habrá infinitos vengadores para vengarlos. Así podrá darse la ansiada colaboración entre Marvel y Pixar juntando Vengadores y Toy Story; peleando tantos personajes que la contienda se extendería hasta el infinito y más allá.
En el colegio nos enseñan que dividir infinito entre dos sigue siendo infinito, pero con Thanos no funcionaría igual.
Cuando se habla del chasquido de Thanos nos viene a la mente uno de los momentos más traumáticos y alucinantes del mundo de superhéroes. Ver desvanecerse a muchos de nuestros personajes favoritos marcó un antes y un después en el Universo de Marvel, e incluso del cine. No solo fue dinamitador para los fans, sino para poner sobre la mesa una cuestión muy interesante sobre matemáticas y una aniquilación infinita.
Cuando Thanos, uno de los seres más poderosos del universo cinematográfico de Marvel, chasquea el guantelete con todas las gemas del infinito en su haber, la mitad de los seres del universo desaparecería, pero si el universo tuviera infinitos seres y Thanos eliminara a la mitad, ¿no acabarían muriendo todos? Al fin y al cabo, infinito dividido entre dos sigue siendo infinito. Esta forma de razonar parece lógica, pero en realidad mezcla dos cualidades un poco antiintuitivas, reglas del mundo finito con un objeto que no se comporta como los números normales: el infinito.
Hago *chas* y no aparezco a tu lado
Imaginemos que hay infinitas personas en el universo y Thanos chasquea el guantelete. Según lo que sabemos y hemos aprendido en el colegio, la mitad de ese infinito sobrevive y la otra muere, pero claro, según lo que hemos aprendido, infinito dividido entre dos… Volvería a dar infinito. Esto es una paradoja seria. ¿Nadie moriría? ¿Todos vivirían?¿Falla la matrix?
Para poder hablar de ellas con precisión, vamos a hacer algo que en matemáticas es muy común: numerar a todas las personas. Vamos a ir una por una poniéndole una pegatina con un número. Uno, dos, tres… Hasta llegar a infinito. Tardaremos un poco, (mentira, tardaremos mucho) pero todas tendrán uno. Eso nos permite razonar sin ambigüedades. Así, tenemos la persona 1, la persona 2, la persona 3, la persona 4, y así sucesivamente sin final. El conjunto de todas las personas puede representarse como el conjunto de los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5…
Este conjunto es infinito, pero no cualquier tipo de infinito: es un infinito numerable, lo que significa que sus elementos pueden listarse uno detrás de otro, aunque la lista nunca termine. Este detalle será importante para que el chasquido pueda hacerse como a Thanos le gusta.
Ahora definimos el chasquido de Thanos de forma muy clara y nada ambigua: Thanos elimina a todas las personas cuyo número es par y deja con vida a todas las personas cuyo número es impar. Es decir, mueren las personas 2, 4, 6, 8, 10… y sobreviven las personas 1, 3, 5, 7, 9…
Desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, lo que acaba de ocurrir es una partición del conjunto original en dos subconjuntos. Por un lado, el conjunto de los pares (los eliminados) y, por otro, el conjunto de los impares (los supervivientes). Estos dos conjuntos no se solapan y, juntos, forman exactamente el conjunto original de todas las personas.
Aquí aparece la primera sorpresa importante: tanto el conjunto de personas eliminadas como el conjunto de personas supervivientes son infinitos. No hay un último número par, pero tampoco hay un último número impar. Si uno empieza a contar pares o impares, puede seguir haciéndolo para siempre.
Hasta aquí, todo parece razonable. El problema surge cuando entra en juego la intuición: si han muerto infinitas personas, ¿cómo es posible que no hayan muerto todas? La clave está en entender que «ser infinito» no significa «serlo todo». Aunque no lo parezca puedo escuchar como se te rompe un poquito la cabeza desde mi oficina.
Las mates matan
En los conjuntos finitos, estamos acostumbrados a que una parte siempre sea más pequeña que el todo. Si tienes diez personas y tomas cinco, te quedan cinco; si tomas nueve, te queda una. Nunca ocurre que una parte tenga el mismo «tamaño» que el conjunto completo. Pero los conjuntos infinitos rompen esta regla y tu intuición se va por el desagüe. Un conjunto puede ser infinito y, aun así, no incluir a todos los elementos posibles. El hecho de que algo sea infinito no lo convierte automáticamente en total. Por eso, decir que «mueren infinitas personas» no equivale a decir que «mueren todas las personas».
Para que murieran todas, tendría que cumplirse que cada persona del conjunto original pertenece al conjunto de los eliminados. Pero eso no ocurre. Las personas impares no están en el conjunto de los pares, y hay infinitas personas impares. Basta con que exista una sola persona que no muera para que no hayan muerto todos; en este caso, no solo existe una, sino infinitas.
Visto así, el chasquido de Thanos no elimina «todo» el infinito, sino que lo divide en dos infinitos distintos. Ambos siguen siendo infinitos, pero no son el mismo conjunto. El infinito no se agota al dividirlo, ni se «consume» al quitarle una parte infinita. El error intuitivo consiste en tratar al infinito como si fuera un número muy grande, cuando no lo es. La teoría de conjuntos muestra que es perfectamente coherente que Thanos elimine a la mitad de las personas en un universo infinito, que muera un número infinito de individuos y que, aun así, sobreviva otro número infinito. Thanos tiene su chasquido deseado y el universo ha perdido a la mitad de sus seres, aunque siga habiendo infinitos vivos.
Miremos el lado bueno, si han fallecido infinitos humanos, también habrá infinitos vengadores para vengarlos. Así podrá darse la ansiada colaboración entre Marvel y Pixar juntando Vengadores y Toy Story; peleando tantos personajes que la contienda se extendería hasta el infinito y más allá.
20MINUTOS.ES – Ciencia
